Waardering van opties met Black & Scholes

De waardering van opties kan met de formule van Black & Scholes. In dit artikel wordt deze formule uitgelegd aan de hand van een intuïtieve benadering. Met het Black & Scholes Excelmodel kun je zien hoe het model kan worden opgezet in een spreadsheet.

 

Black & Scholes werkt alleen voor Europese callopties die geen dividend uitkeren. De uitkomst kun je vergelijken met de actuele waarde van de calloptie op de beurs wat kan helpen bij de beslissing of de optie interessant is om aan te schaffen.

Ontstaan

De formule werd gepubliceerd in 1973 door Fischer Black (Ph.D in Toegpaste wiskunde) en Myron Scholes (econoom). In 1997 ontvingen zij de ‘Nobelprijs’ van de Economie voor hun werk. Het is eigenlijk geen echte nobelprijs maar wordt wel in dezelfde ceremonie uitgereikt als de echte nobelprijzen. De prijs wordt jaarlijks toegekend door de Koninklijke Zweedse Academie voor Wetenschappen.

 

Het is ironisch dat Myron Scholes eind jaren ’90 voor het hedgefonds Long Term Capital Management gewerkt waar het model in eerste instantie succesvol werd gebruikt. Maar dankzij een onwankelbaar geloof in een ver doorgevoerde automatisering in combinatie met economische turbulentie, heeft LTCM aan het eind van de jaren ’90 het veld moeten ruimen met $4,6 miljard aan restschuld.

De formule

De formule vereist wel enige kennis van algebra en statistiek. De lezer wordt aangeraden om de literatuur daarover te raadplegen. Onderaan dit artikel staan een aantal suggesties.

 

De Black & Scholes formule luidt:

 

C = SN(d1) – Ke-rT N(d2)

 

De eerste term SN(d1) zegt iets over de verwachting ten aanzien van de actuele koers van het aandeel. De tweede term Ke-rT N(d2) zegt iets over de verwachting ten aanzien van de uitoefenkoers van de optie. De calloptie heeft waarde als de eerste term (actuele koers) groter is dan de tweede term (uitoefenkoers).

 

(d1) en (d2) zijn partiële differentialen en kunnen verder worden uitgeschreven:

  • (d1) = [ln(S/K) + (r + α2/2)T] / (α√T)
  • (d2) = d1 – α√T

Uitleg factoren:

  • C = Waarde van de calloptie
  • S = Actuele koers van het aandeel
  • K = Uitoefenkoers van de optie
  • e = Grondtal van de natuurlijke logaritme
  • r = Risicovrije rentevoet (meestal rente van een staatsobligatie)
  • T = Periode tot uitoefendatum
  • N(d1) = Waarschijnlijkheid dat de contante waarde van de toekomstige opbrengst van een aandeel de huidige koers overtreft
  • N(d2) = Waarschijnlijkheid dat de optie wordt uitgeoefend
  • α = Standaarddeviatie

 

De idee achter de formule is dat je de contante waarde van een contract (de optie) wilt vaststellen. Deze hangt onder andere af van de kans (waarschijnlijkheid) dat een aandeel na een bepaalde periode een bepaalde waarde heeft. Tot aan expiratie kan de koers van het aandeel fluctueren.

In de formule zie je dus drie elementen terug die de waarde van de optie bepalen:

 

1. Kans

Voorbeeld: Je kunt mee doen aan een spel waarbij je achtereenvolgens: 10% kans hebt om met een inleg van 1000 euro, een bedrag te winnen van 100.000 euro, 20% op 50.000 euro en 50% op 1000 euro. De huidige waarde van de ‘optie’ om mee te doen is: 10% x 100.000 + 20% x 50.000 + 50% x 1000 – inleg = 10.000 +10.000 + 500 -1000 = 19.500 euro.

 

2. Tijdswaarde

De waarde van het contract hangt niet alleen af van de kans op een bepaalde uitkomst, maar ook van de ontwaarding over tijd. Als je nu 1000 euro krijgt dan is dat meer waard dan als je die 1000 euro over een jaar krijgt. Over een jaar is de waarde van 1000 euro geërodeerd door inflatie en gemiste rente-inkomsten.

 

3. Volatiliteit

Dan bepaalt ook nog de volatiliteit van het rendement van een aandeel de waarde van het contract. Als de volatiliteit groot is dan kunnen zowel de positieve als negatieve uitslagen groot zijn. Als de actuele koers op uitoefendatum lager is dan de uitoefenkoers, dan is de waarde van je contract nul. Opties van hoog volatiele aandelen zijn altijd duurder dan die van aandelen met een lage volatiliteit.

 

Deze drie elementen; kans, tijdswaarde en volatiliteit zie je terug in de formule van Black & Scholes:

  • Kans:  N(d1) en N(d2)
  • Tijdsontwaarding:  e-rT
  • Volatiliteit: α (sigma) staat voor de mate van volatiliteit van het rendement van een aandeel, uitgedrukt in %. Deze vind je weer terug in de N(d1) en N(d2).

 

Alle formules en de interne relaties staan uitgewerkt in dit BlackScholes Excelmodel

 

In de tabel worden de berekende uitkomsten volgens Black & Scholes afgezet tegen de intrinsieke waarde van de calloptie. De intrinsieke waarde is de verwachte koers van het aandeel verminderd met de actuele waarde. Er wordt gebruik gemaakt van een Gegevenstabel om de uitkomsten grafisch weer te geven. In dit artikel [Gegevenstabel] wordt beschreven hoe deze gemaakt kan worden.

 

Black & Scholes Excel

Meer Exceltips en trucs

Wil je meer weten over de mogelijkheden met Excel kijk dan bij de Exceltips of bij ExcelStudie. ExcelStudie is gelieerd aan deze site.

Boekentips

Hopelijk vond je dit een nuttig artikel. Als je vragen of  opmerkingen hebt stuur dan een e-mail.

 

Veel succes!

 

(c) 2019 ExcelFactory

 

Bronvermelding

Nielsen, Lars Tyge – Understanding N(d1) and N(d2) (Paper, 1993)

https://financetrainingcourse.com/education/wp-content/uploads/2011/03/Understanding.pdf

 

Newman, Rich – Guide to the Black & Scholes option pricing formula

A Beginner’s Guide to the Black-Scholes Option Pricing Formula (Part 3)

 

Hull, John C. – Options, Futures and Other Derivatives (6e druk)

Benninga, Simon – Financial Modeling (4e druk)